Rätsel: Die verrückten Primzahlwürfel

Spiegel Online stellt jede Woche ein Rätsel der Woche vor. In dieser Woche geht es um komisch geformte Würfel, die mit Primzahlen beschriftet sind.

Gegeben sind drei Würfel in Form von Oktaedern, d.h. sie haben jeweils acht Seitenflächen. Die Würfel unterscheiden sich aber von normalen Würfeln dadurch, daß sie nicht die ersten acht Zahlen enthalten, sondern die acht kleinsten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19.

Nun werden diese drei achtseitigen Würfel gleichzeitig geworfen und anschließend alle Augen zusammengezählt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ergebnis eines Wurfes 30 ist?

Die Lösung ist gar nicht so schwer:

Bestimmen wir erst einmal die Anzahl an Möglichkeiten, daß die Augen der drei Würfel überhaupt 30 ergeben.

30 ist eine gerade Zahl. Das sie gerade ist und die Summe aus drei Primzahlen ist, darf von den gewürfelten Zahlen nur zwei ungerade sein oder keine. Mit anderen Worten: es darf nur eine gerade Zahl dabei sein oder alle drei müssen gerade sein.
Da aber die 2 die einzig gerade Primzahl ist, kann der letzte Fall nicht eintreten.

Daraus folgt, daß ein Würfel die 2 zeigen muß.

Nun bleiben noch 28 Augen übrig, die die restlichen beiden Würfel zeigen.
3, 5 und 7 scheiden aus, weil sie so klein sind, daß es keine passende Primzahl auf dem Würfel gibt, um auf 28 zu kommen.
Und nun erkennt man schnell, daß die beiden anderen Würfel die Zahlen 11 und 17 zeigen müssen, um auf 30 als Gesamtergebnis zu kommen.

Die Würfel müssen also die Primzahlen 2, 11 und 17 zeigen.

Doch wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?

Als erstes bestimmen wird alle möglichen Ereignisse:
Jeder Würfel hat 8 mögliche Ereignisse. Bei drei Würfeln ergibt das dann 8*8*8 = 512.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines dieser Ereignisse ist also 1/512.

Nun bestimmen wir die richtigen Ereignisse:
Die Primzahlen 2, 11 und 17 können in unterschiedlichen Reihenfolgen (Permutationen) in einem Wurf auftauchen, daher gibt es genau 3! = 3*2*1 = 6 Möglichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit, daß bei einem Wurf mit den Primzahl-Oktaeder-Würfeln die Augensumme 30 herauskommt, ist 6/512.

Quelle: Spiegel Online – Rätsel der Woche – 6.4.2019

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