Elitäre Primzahl

Der Begriff der elitären Primzahl wird in der Zahlentheorie genutzt. Der österreichische Mathematiker Alexander Aigner beschrieb und untersuchte diese Primzahlen 1986 in den Monatsheften für Mathematik. Er benannte diese Zahlen so, weil sie ein sehr elitäres und seltenes Auftreten haben. Aigner selbst fand nur 14 elitäre Primzahlen, die kleiner als 35 Millionen waren.
Weiterhin ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt.

Die ersten bekannten elitären Primzahlen sind:
3, 5, 7, 41, 15.361, 23041, 26881, 61441, 87041, 163841, 544001, 604801, 6684673, 14172161, 159318017, 446960641, 1151139841, 3208642561, 38126223361, 108905103361, 171727482881, 318093312001, 443069456129, 912680550401, 1295536619521, 1825696645121, 2061584302081

Definition: Elitäre Primzahl

Eine Primzahl p wird elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen F_n = 2^{2^n} +1 quadratische Reste modulo p sind.

Eigenschaften elitärer Primzahlen

  • Eine Primzahl p ist genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo p sind.
  • Die Anzahl C(x) aller elitären Primzahlen \leq x erfüllt die Abschätzung

        \[ C(x) = O(\frac{x}{ln^2(x)}) \]

Quellen und weiterführende Links: